云深之无迹
纵是相见，亦如不见，潇湘泪雨，执念何苦。
1677篇原创内容
公众号
滤波器通过改变信号中不同频率成分的“强度”与“相位”，来保留有用信息、抑制或去除不需要的部分。
大体来说：滤波器 ≈ 频率选择器：
在信号里面有俩类：
高频 = 快速变化（如毛刺、噪声）低频 = 缓慢变化（如轮廓、平均趋势）我们可以互相组合出6种：
滤波器类型
通俗解释
低通滤波器
保留慢变化，去除噪声
高通滤波器
保留快变化，去除趋势
带通滤波器
保留特定频率
带阻滤波器
削弱某段频率（如工频）
数学视角：信号 × 频率响应一个信号 的傅里叶变换是 ，滤波器频率响应是 ，那么输出信号频谱是：
也就是说：
滤波器把输入信号在每一个频率上的强度乘以一个“权重函数” 。
这里出现新知识，频率响应
什么是频率响应 ？频率响应表示一个线性时不变（LTI）系统对不同频率输入的“反应强度和相位”。
定义（连续时间）：
即系统对单位复指数输入 的稳态输出：
频率响应的两部分部分
含义
解释
幅度谱
输入波形 输出强度变成多少倍
相位谱
信号在该频率的相位偏移
频率响应分解以一般复函数 为例：
滤波器的两个图是使用的复函数绘制的
Bode图Bode图
幅度响应（Magnitude Response）
表示系统对频率为 的输入正弦波 输出强度变成多少倍；
如果 ：该频率被放大；如果 ：该频率被削弱（衰减）；
通常画成 Bode 幅度图，单位常用 dB（分贝）：
单位：
相位响应（Phase Response）
该频率信号经过系统后，其相位被延迟或超前了多少角度；常常画成 角度 vs 频率图，单位为弧度或度（°）；和群延迟、系统因果性、相位失真密切相关；
例如低通滤波器常引起高频分量相位延迟更多（非线性相位）：
比如一阶 RC 低通滤波器
幅度响应：
相位响应：
高频越大 ⇒ 衰减越多，延迟越大，看最后的公式
与输入输出的关系（频域乘法）对任意输入 ，其傅里叶变换为 ，则输出：
滤波器对频率做乘法处理 ⇒ 强的频率放大，弱的压制。
理想滤波器假设一个理想低通滤波器：
其幅度谱是一个矩形，输出频谱 = 输入频谱在 以内保留，其余被滤掉。
一般说理想就是不需要的频率马上就截断，但是说现实不是，我们使用功率来表征，就是下降到原功率一半，3db的时候就认为是带宽了
时域视角：卷积作用滤波器的单位脉冲响应为 ，输入信号为 ，则输出为：
滤波器“滑动”在信号上，对每一点进行加权平均或加权差分处理。
高频去除高频去除
代码语言：javascript复制import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import butter, filtfilt
fs = 1000 # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*5*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*100*t) # 5Hz信号 + 100Hz噪声
# 构建一个低通滤波器，截止频率 30Hz
b, a = butter(N=4, Wn=30, fs=fs, btype='low')
y = filtfilt(b, a, x)
plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, y, label='滤波后信号', linewidth=2)
plt.title("低通滤波器作用：去除高频噪声")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()